许宝騄对概率论与数理统计的卓越贡献
- 作者:admin 来源:网络 日期:2008-5-15 3:16:20
许宝騄通过把u的密度函数展开成幂级数,研究了否定域| u | > c的势函数对参数的依赖关系。其主要内容是计算上述U检验的功效函数,并研究该检验在种种情况下的表现[ 9 ] 。代写留学生论文 这是一个精确的(不是渐进的)分析,当代统计学家谢非(H. Scheffe)称之为“数学严密性的范本”。据许宝騄的研究结果所给出的方法后被称为“许方法”。
1941年,许宝騄首次证明了方差分析中的F检验在功效函数观点下的优越性。方差分析中任一个效应有无的检验,都可以化为典则形式之下的假设。他证得若假设水平α的检验不是F检验,其功效函数在任一球面上保持常数,则此检验的功效必小于水平α的F检验的功效[ 10 ] 。这是一元线性假设似然比检验的第一个优良性质,其本质上是对任何特定多于一个参数值假设的第一个非局部的优良性质。许宝騄考察了高斯2马尔科夫模型中方差的最优估计问题,得到了样本方差为总体方差的最优二次无偏估计的充要条件。后来的研究表明,许宝騄的结果是近年来研究方差分量模型和方差最优二次估计的起点。
许宝騄证明了似然比检验在所有功效函数仅依赖于一个非中心参数的所有检验中是一致最强的。这个条件等价于势函数在某一类自然变换下的不变性,由此开创了假设检验的两个发展方向: (1)将所得形式推广到多元问题(郝太林的T2及多元相关系数) ; (2)提供了获得所有相似检验的新方法。
正是在许宝騄的建议下,其学生席玛卡(J. B. Simaika)和莱曼( E. L. Lehmann)将这个方法用于其他问题,后莱曼和谢飞形成了完备性的概念。
3 推进多元分析发展
皮尔逊的数理统计学建立在自然总体的“大样本”基础上,而费希尔则着重处理受控实验中“小样本”的统计分析。后者在数学上占有优势,频频对前者发起攻击,尖锐地批评皮尔逊所提出的x2 检验。
奈曼和小皮尔逊在1933年发表了关于假设检验的论文,把检验问题作为一个数学最优化问题来处理,发展了费希尔的研究工作。由于费希尔对皮尔逊有成见,因而对奈曼和小皮尔逊的研究也不以为然,甚至称其编辑的《统计学研究通报》是“一堆破烂货”。由于和费希尔的矛盾,奈曼感到在英国难以发展,于1938年4月应聘为美国加州伯克利大学数学系教授,并筹建了统计实验室。
加州伯克利大学统计实验室在二战后逐步取代了伦敦大学学院的统计系地位,成为世界数理统计学的中心。相比之下,当时苏联在概率论领域虽领先于世界,但在数理统计领域远远落后于美国。在20世纪50年代大力倡导“学习苏联”时期,中国统计学也长时期得不到发展。
奈曼犹如伯乐,慧眼识俊才。他非常器重许宝騄,认为许宝騄是新一代数理统计学家中的佼佼者,一度选定其为接班人。1945年,奈曼邀请许宝騄参加了第一届伯克利概率统计讨论会,并聘请他为伯克利统计实验室教师。校方仅聘许宝騄为讲师,奈曼为此大声疾呼,表示了强烈不满。1946年秋,许宝騄开始在教堂山(Chapel Hill)教学,奈曼还曾去看过他。当许宝騄回国时,奈曼一再挽留,想把他争回自己的麾下。回国后,许宝騄也与奈曼保持了多年的联系。许宝騄对科学所做的贡献以及孜孜以求的好学精神,是与奈曼的教诲和影响分不开的。
如果个体的观测数据能表示为P维欧几里得空间的点,那么这样的数据叫做多元数据,而分析多元数据的统计方法称为多元统计分析。主要多元分析方法有:多重回归分析、判别分析、聚类分析、对应分析、典型相关分析、多元方差分析等。许宝騄在哥伦比亚大学和教堂山讲授多元统计分析,培养学生从事这一领域的研究。
自20世纪30年代起,费希尔、郝太林、许宝騄等做出了一系列奠基性的工作,使多元统计分析在理论上得到迅速发展。1938年到1945年,许宝騄所发表的相关论文一直处在多元统计分析理论的前沿。在多元分析假设检验理论中,许宝騄最先讨论了优良性,是奈曼-皮尔逊的假设检验理论在多元分析中应用的先导。他推进了矩阵论在数理统计理论中的应用。许宝騄把矩阵论中处理问题的方法引进了数理统计的研究,实质上这是一个长方阵在某一变换群下的标准型。有了线性模型的法式,使估计和假设检验问题变得十分简明。
费希尔创立的“n维几何”方法,使数学家们获得了一些重要统计量的精确分布。典型例子是1928年维夏特(J. W ishart)导出了任意维正态样本全体二阶矩的联合分布———维夏特分布。
不少学者给出维夏特分布的不同证明。1939年,许宝騄利用数学归纳法推导出维夏特分布。他假定对n - 1, p - 1成立来推导对n, p的密度函数。除了密度函数中的矩阵外,还需要一个( p - 1)维的正态向量和一个n维的正态变量,在证明过程中所需的分析推导仅仅是n维向量模的平方是x2n 分布[ 11 ] 。专家们一致认为许宝騄的推导方法是最优美的一个。
文中许宝騄的另一个杰作就是得到了现今所称的许氏公式:当n≥p≥1时,有
∫⋯∫f ( x′x) dxn ×p=πnp2 -p4 ( p - 1)Π p- 1j=OΓ(n - j2) ∫A >0⋯∫| A |n - p- 12 f (A ) dA
该公式是处理20世纪80年代所形成的椭球等高分布统计量的有力工具。
多元分析中一个基本分布是关于随机正定阵相对特征根的分布。线性模型中线性假设的检验问题,都与这些特征根有关。若正定随机矩阵A 和B 相互独立,各自遵从维夏特分布W (m, Σp ×p) 和W ( n, Σ) ,且m ≥ p, n ≥ p,θ1 ≥⋯≥θp ≥ 0表示| A - θ(A +B ) | = 0
的p个根,寻求θ1 , ⋯,θp 的联合密度是一个重要研究课题。在20世纪30年代末,许宝騄和一些著名统计学家,都对其进行了探讨。在众多方法中,许宝騄的方法严密而清晰,他以矩阵微分为工具,计算了一些复杂变换的雅可比行列式,而导出相应的分布[ 12 ] 。
这个方法的难点是计算雅可比行列式,许宝騄在文章中给出了任意阶的雅可比行列式结果,并证明了3阶行列式情形。其学生安德逊( T. W. Anderson)详细介绍了这一工作,认为某些雅可比行列式的计算是许宝騄的杰作。
许宝騄把数学家分成三流。第一流的数学家是天才,代写硕士论文 他们能开创新的领域,如柯尔莫哥洛夫、诺依曼(John von Neumann, 1903—1957) 、维纳(NorbertWiener, 1894—1964)等。第二流数学家是靠刻苦学习而成功的。他们认真消化整理前人的东西,在此基础上有所创造和发现,辛钦就属于这一类。第三流的数学家只是在某个问题上有所贡献,不能像第二流的那样系统工作。剩下的就是不入流的数学家了。他认为自己没有才能,所有成就完全是靠刻苦学习而获得。
“三十功名尘与土,八千里路云和月”。许宝騄对科学研究的态度和精神永远值得我们借鉴和学习。
参 考 文 献
1 吴文俊. 世界著名数学家传记[M]. 北京:科学出版社, 1990.
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3 张奠宙. 中国近现代数学的发展[M]. 石家庄:河北科学技术出版社, 2000.
4 Pao-Lu Hsu, Robbins H. Comp lete Convergence and the Law ofLarge Number[J]. Proc. N at. Acad. Sci. U. S. A. , 1947,33: 25—31.
5 Pao-Lu Hsu. The App roximate Distribution of the Mean and Variance of a Samp le of Independent Variables [J]. Ann.M ath. S tatist, 1945, 16: 1—29.
6 钟开莱. 许宝騄在概率论方面的工作[J]. 数学的实践与认识, 1980, (3) : 12—15.
7 陈希孺. 数理统计学简史[M]. 长沙:湖南教育出版社, 2005.
8 Morris L E, Richard A O. Random Quotients and the Behrens2Fisher Problem [J]. Ann M ath S tatist, 1972, 43: 1852—1860.
9 Pao-Lu Hsu. Contributions to the Two-samp le Problem and the Theory of the“Studentps T-test[J]. S tatist. Res. M em ,1938, 2: 1—24.
10 Pao-Lu Hsu. On the Best Quadratic Estimate of the Variance[J]. S tatist. Res. M em , 1938, 2: 91—104.
11 Pao-Lu Hsu. Analysis of Variance from the Power Function Standpoint[J]. B iom etrika, 1941, 32: 62—69.
12 Pao-Lu Hsu. A New Proof of the Joint ProductMomentDistributions[J]. Proc. Cam brige Philos. Soc. , 1939, 35: 336—338.
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