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基于微积分的无限概念的理解

作者:admin 来源:网络日期:2008-5-2 19:21:40

无限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念,可以说,数学的发展过程就是人们对无限的不断认识的过程. 特别是对于微积分而言,无限是一个贯穿始终的重要概念, 微积分从创立到发展都紧密困扰着对无限认识的深入和提高. 甚至微积分的严密性得益于柯西对极限概念的界定. 理解微积分的无限概念可谓意义深远. 但是,学生往往对无限理解感到困难. 笔者受美国优秀教材(Raymond A. Barnett& Michael R. Ziegler & Karl E. Byleen) :微积分及其在商业,经济, 生命科学及社会科学中的应用(第9版) 的启发, 试图寻找一条理解无限概念的有效途径.
1 基于无限概念的历史溯源
早在公元五世纪, 亚里士多德首先发现无穷的数学概念,提出潜无穷与实无穷两种无穷思想;英国数学家约翰·沃利斯首先使用了“∞”这个符号;更重要的是,微积分从创立到发展,就是对无穷理解的发展过程. 刚开始牛顿、莱布尼兹发明微积分时, 引入无穷小的概念,那时的微积分被称作“无穷小分析”,当时整个微积分建立在无穷小基础上, 而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的. 大主教贝克莱在“贝克莱悖论”中十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾,可以简单地表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”, 就实际应用而言, 它必须既是零,又不是零. 而从形式逻辑角度而言, 这无疑是一个矛盾.
为了解决“贝克莱悖论”,使分析基础严密化,柯西研究了极限定义, 并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明, 使微积分学有了较坚实的理论基础, 魏尔斯特拉斯又给出精确描述数列极限的“ε- N”方法和函数极限的“ε- δ”方法,把微积分奠基于算术和代数的基础上,极限概念成为微积分大厦的坚实基础. 而无穷小作为极限为0 的变量,不再是一个困扰人们的问题. 至此, 微积分的基础问题圆满解决.
但是,对无穷思想理解最深的人是康托,他认为无穷总体在数学中是无穷集合, 无穷集合是一个现实的、完成的、存在着的实体,是可以认识、可以把握的. 康托洞察到“部分等于全体”是无穷集合的本质特征,于是,他用“一一对应”创立了集合论, 发现了超限数,精确定义了无穷, 使人类从本质上认识了“无穷”.
2 基于微积分的无限概念的理解
2. 1 基于学生认知规律理解极限概念
一般而言,自然化概念和在现代公理化体系下的形式化概念是有区别的. 从上述无限概念的历史也可以看出,自然化概念经历由粗糙认识到深刻认识的过程. 现行教材为了保持体系的严密性,是逆无限概念的发展顺序来讲述的. 虽然一开始给学生讲极限的ε- δ方法可以凸现微积分的严密性, 却违背了个体的认知发展规律, 结果学生难以接受极限的抽象概念.
从个体认知的角度出发, 个体对极限的认知可以分成三个层次,感觉层次,分析层次,演绎层次. 分别对应于语言叙述,图表观察,ε- δ语言三个阶段.
从学生的认知出发的极限概念的教学, 首先顺应学生对无限的感觉,用语言描述在运动变化中,数学上的极限的特点:即在一个极限过程x →x0 下,f ( x) 无限趋于一个确定的常数A ,则称x →x0 时,f ( x) 收敛于A ,或称A 是在x →x0 下的极限. 让学生明白数学上的极限和一般意义上的极限的不同之处,这一阶段只用语言叙述就行,学生通过语言自己建立概念表象.
第二阶段我们不能只是满足于模糊的语言叙述,必须进行数值分析. 方法是让学生从表, 图形等来观察极限,让学生从数值逼近的角度理解极限,或借助于数学软件来计算比较精确的结果, 让学生从数字中找到规律.
例1 已知f ( x) = 16 x2 ,计算
limh →0f (1 + h) - f (1)/h
h - 0. 1 - 0. 01 - 0. 001 →0 ←0. 001 0. 010. 1
f (1 + h) - f (1)/h30. 4 31. 8431. 984 →32 ←32. 016 32. 16 33. 6
也可以利用计算机生成的数据来观察极限.
例2 考虑极限limn →∞2 n3 + 1/5 n3 + 1.在mathematics 中输入程序, 生成数据( 见附录) ,学生可以从数据中看到, 随着n 的增大, 极限值越来越接近于0. 4.
最后阶段是演绎阶段, 我们不能总是停留在对极限的感觉和近似计算上, 需要对极限上升到ε-N (δ) 方法上. 这一方法实质是前面两个过程的抽象和总结,也就是用算术和代数式子表示极限的趋近过程. 用图表表示如下:
语言叙述　(感觉阶段)
↓
图表观察　(分析阶段)
↓
ε- N 语言　(演绎阶段)
2. 2 基于ε- N 语言的数列极限概念的理解
一般而言,数列极限是基础,理解了数列极限,函数极限的概念就可以类推过来.首先是对ε的理解,ε本身就蕴涵着无限的意味,因为它可以比任意正数都小,但不等于0.ε的引入,就是为了刻画函数无限趋近于常数A ,但不等于A .
其次用代数式子描绘无限逼近. 无限逼近中学解析几何中就学过,但那只是图象上的直观认识,并没有用算术式子描绘, 我们可以用什么来描绘这个无穷过程呢? 最好的算术式子就是距离| an - L | ,距离越来越小,函数越来越逼近固定常数. 结合前面对ε的理解, 用| an - L | <ε描述越来越逼近的过程.
最后,存在性的理解. 用什么来描述无限过程中的稳定性,也就是说,微积分中的极限与一般意义的无限是有区别的,它的规律就在于变化中有稳定,从理论上说,与任意ε相对应的必是某一个稳定的N ,这里N 只是一个界定, 表示描述N 后面的无穷多项的性质.
综合以上各个因素,我们就可以用ε- N 语言来描述极限的定义,从而,看出数学中的极限和我们生活中的无限的差别,前者可以定量描述,可以用算术和代数式子来表达,是有规律可循的.
但是,从反面来看,如果学生对ε- N 语言如果没有弄清楚,会存在反面的效果. 学生会对这一方法产生厌烦情绪. 甚至把这一重要方法看作机械的操作程序,认为没有什么益处. 我曾对刚刚学完了极限概念的同学进行了沟通,发现了这个问题.
问:你怎么看ε- N 语言?
生: ⋯⋯ε- N 语言表示好象没有用, ⋯⋯
⋯⋯做题感觉在进行程序化操作⋯⋯
3 实践研究了解学生对无限认识的思维状况
为了跟踪探求学生对无限认识的思维状况, 我分阶段对部分学生进了测试并访谈. 在测试中了解了学生内心的思维状况,并进行了分析. 总体样本数是58 人. 问题1 和问题2 的测试时间是在学生学习微积分之前. 问题3 是在学生刚刚学完微积分的极限概念之后.
问题1 “孤帆远影碧空尽,惟见长江天际流”,“前不见古人, 后不见来者, 念天地之悠悠, 独怆然而泣下. ”诗歌里蕴涵着无限的思想, 对此你的理解是( )
(A) 诗人感悟到时空的无限变化, 而人的生命却是有限的,因而感慨万分.
(B) 无限跟诗歌没有什么关系, 这些只是表现一种意境而已.
(C) 宇宙是无限的,诗人的思想无法感受到自己看不到听不见的事物.
58 人中有49 人选择答案A , 学生对一般性的无限有自己的看法, 也许这种无限直觉是源于对生命的认识和敬畏,是生命本身的体验. 就好像一个孩子慢慢认识自己的器官结构一样, 人们逐渐认识了生命的有限和宇宙时空的无限的矛盾. 这是对无限的质朴的认识,还没有上升到数学的无限的认识.
问题2 你怎样看待∞,以及+ ∞, - ∞ ( )
(A) 它们都是数.
(B) 它们不是数, 只是表明运动趋势和运动方向.
(C) 不太确定,有时感觉是数,有时又感觉是运动趋势.
访谈对象总数是58 人,有53 人选择B ,占总人数的91. 4 %. 说明学生能够基本明白无穷的动态性,也就是比较容易接受潜无穷的观点,但主要从感官出发,对无穷的性质存在直觉性,从直觉出发的无穷实际上是感觉层次的无穷,学生对此毫不怀疑.
(学生学习完了微积分后3 个星期)
图1 三角形
问题3 如图1 , 三角形ABC 中, 分别取三条边上的中点组成三角形A1 B1 C1 ,同理可得三角形A2 B2 C2 , 这样无限取下去(包括边界) ,你认为结果是( )
(A) 最终取到一个无限小的面积趋向于0 的三角形,而不是一个点.
(B) 最终取到一个点.
(C) 最终结果可能是面积无限小的三角形, 也可能是点.
58 人中只有6 个人选择B , 50 人选择A . 并且
对此题我做了个案访谈.
问:你选择什么答案,并说明理由
生:选A
⋯⋯还是一个三角形⋯⋯
⋯⋯点外也还是点⋯⋯
⋯⋯可以用放大显示,总是三角形,不是一个点
⋯⋯
从访谈可以看出, 学生对无限的认识更多看作一个无限趋近的过程,对于极限结果是一个定量,他们不太认同,因为在他们看来, 极限是潜无限(不断变化发展) 的观点更符合个体对一般无限的认识,他们难以上升到将无限看作一个实体的以实无限(可以认识的实体) 的观点来看的认知层次.
问题4 你对ε- δ怎么理解?
生1 :
⋯⋯ε- δ就应该讲清楚⋯⋯
⋯⋯有点模糊⋯⋯
⋯⋯为了做一个题⋯⋯
⋯⋯老师讲的界于清楚和不清楚之间⋯⋯
⋯⋯老师高估了我们的能力⋯⋯
再问:比如说y =1/x
是无限逼近x 轴或y 轴的,无限逼近怎么表示?
⋯⋯中学没有让我们表示⋯⋯
再问:现在学了极限后怎么表示? 可不可以用
| f ( x) - A | < .来表示?
生: ⋯⋯可以⋯⋯
⋯⋯形象深刻(恍然大悟状) ⋯⋯
另外,学生对极限的定义,特别是.- δ语言不可能在短期内就深刻领会,需要时间来内化. 这可能跟他们习惯于接触定量的数学, 而对于定性数学有不太习惯有关.
4 教学启示和建议
首先,应将极限概念放在无限的大背景下理解,只有让学生区别一般意义无限概念和数学极限概念,才能更好地理解数学上的极限概念. 如果学生将头脑中以往形成的无限概念和数学上的极限概念混为一谈,学生不可能深刻理解极限. 因为个体对无限的最初理解源于直觉,但直觉有时是一种错觉,特别是对待数学上的极限而言. 这一点一定要给学生讲清楚. 学生对无限的直觉更多停留在潜无限层次,树立潜无限和实无限相结合的观念应该是教师首先要
有的观点.
其次,应遵循学生的认知规律,了解学生的思维状况,有的放矢地讲解极限. 学生的认知发展应该是从语言描述建立概念表象开始, 然后再到图表, 图象,代数式子等, 最后上升到.- N 语言方法. 只有这样,学生才更容易接受.
最后,应注重对个体的ε- N 语言的理解,让学生明白ε- N 语言的精髓, 同时让学生在练习中慢慢体会它的作用,如果没有ε- N 语言,微积分大厦就没有根基,教给学生ε- N 语言就是教给学生最本原的极限概念,让学生体会数学的严谨性.